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双子素数予想
- 2013/05/22(Wed) -
数学上の未解決の難問「双子素数予想」の解決につながる論文が出た、と報じられました。
これは、11と13のような間隔が2である素数のペア(双子素数という)は無限に存在する、という予想です。

ああそうですか、素数なんて私には何のかかわりもありませんけど、とおっしゃる方。それは大間違いです。
ネット上を飛びかう情報は、素数を利用して暗号化されているからです。そのひとつが「RSA暗号」。

RSA暗号については、たくさんの解説サイトがありますが、その多くが数式や図表を含み、複雑難解です。
そこで今日は、思いっきり簡略化した解説に挑戦してみます。双子素数の話はまた後日です。

(1)たとえば、「3」と「33」という2つの公開された鍵を使って、17という数値を暗号化する場合
17を3乗したものを33で割った余り29が暗号。3と33が公開されているので、だれでも暗号化が可能です。

(2)秘密の鍵「7」を使って、受け取った暗号29を復号する(元の数値に戻す)
29を7乗したものを33で割った余りがなんと、元の数値17になるのです。7を知っていれば復号は簡単です。

ある数値を3乗して33で割った余りを、7乗して33で割った余りは、必ず元の数値になるというのがミソ。
このような面白いことが起きるのには、3と33と7に、一定のルールがあるからです。

まず、33は2つの素数の積であること。33=3x11です。
次に3は、それらの素数から1を引いた数の積の約数ではないこと。3は(3-1)x(11-1)=20の約数じゃない。
そして7は、3との積が、先の素数から1を引いた数の積+1の倍数になるように選ぶ。7x3=20+1です。

このようにすればなぜ(1)(2)が成り立つのか。それを私に聞かないで下さい。

もちろん、33という小さな数値では、33=3x11と簡単に素因数分解され、秘密の7はすぐバレます。
実際のRSA暗号では、33の部分には、300桁程度の巨大な数(=2つの素数の積)を用いています。
このぐらい大きな数になると、いまのコンピュータを持ってしても、素因数分解には年単位かかるそうです。

桁数の大きな素数の積は、それを素因数分解するのがきわめて困難。これが暗号に利用される理由です。

だから、効率的に素因数分解を行う方法が見つかったとき、RSA暗号は破られるわけです。
双子素数だとかの、素数を巡る謎が解明されるたびに、暗号業界はドキッとしているのでしょう(たぶん)。

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